צורות תלת ממדיות: פולידרונים, מוצקים מעוקלים ושטח פנים

ראה גם: מאפייני מצולעים

דף זה בוחן את המאפיינים של צורות תלת ממדיות או 'מוצקות'.

צורה דו מימדית יש אורך ורוחב. לצורה מוצקה תלת מימדית יש גם עומק. צורות תלת ממדיות, מטבען, הן בעלות פנים וחוץ, המופרדות על ידי משטח. כל הפריטים הפיזיים, דברים שאפשר לגעת בהם, הם תלת מימדיים.

דף זה מכסה הן מוצקים ישרים, הנקראים פולידרונים, המבוססים על מצולעים, והן מוצקים בעלי קימורים, כגון כדורים, גלילים וקונוסים.




פולידרונים

רב-חדריות (או רב-פסיכולוגיות) הן צורות מוצקות ישרות. פולידרונים מבוססים על מצולעים, צורות מישור דו ממדיות עם קווים ישרים.

ראה את העמוד שלנו מאפייני מצולעים למידע נוסף על עבודה עם מצולעים.

רב-גוני מוגדרים כבעלי:

  • יָשָׁר קצוות .
  • צדדים שטוחים נקראים פרצופים .
  • פינות, נקרא קודקודים .

פולידרונים מוגדרים לעיתים קרובות על ידי מספר הקצוות, הפנים והקודקודים שיש להם, כמו גם האם פניהם כולם באותו הצורה והגודל. כמו מצולעים, פולידרונים יכולים להיות רגילים (על בסיס מצולעים רגילים) או לא סדירים (על בסיס מצולעים לא סדירים). פולידרונים יכולים גם להיות קעורים או קמורים.

אחד הפולידרונים הבסיסיים והמוכרים ביותר הוא הקוביה. קוביה היא פולידרון רגיל, בעל שישה פנים מרובעות, 12 קצוות ושמונה קודקודים.


מאפיינים של פולידרונים בסיסיים. פולידרונים רגילים, מנסרות ופירמידות.

פולידרונים רגילים (מוצקים אפלטוניים)

החמישה מוצקים רגילים הם סוג מיוחד של פולידרונים, שפרצופיהם זהים כאשר כל פנים הם מצולע רגיל. המוצקים האפלטוניים הם:

  • אַרְבָּעוֹן עם ארבעה פרצופים משולשים שווי צלעות.
  • קוּבִּיָה עם שישה פרצופים מרובעים.
  • אוקטהדרון עם שמונה פרצופים משולשים שווי צלעות.
  • דודקהדרון עם שנים עשר פרצופים מחומשים.
  • איקוזהדרון עם עשרים פרצופים משולשים שווי צלעות.
עיין בתרשים לעיל להמחשה של כל אחד מהפולידרונים הרגילים הללו.

מהי פריזמה?

ל פּרִיזמָה הוא כל פולידרון שיש לו שניים קצוות תואמים וצדדים שטוחים . אם אתה חותך מנסרה בכל מקום לאורכו, במקביל לקצה, חתך זהה זהה - היית בסופו של דבר עם שתי מנסרות. הצדדים של פריזמה הם מקביליות - צורות ארבע-צדדיות עם שני זוגות צדדים באורך שווה.

אנטי-פריזמות דומים למנסרות רגילות, הקצוות שלהם תואמים. עם זאת הצדדים של אנטי-מנסרות מורכבים משולשים ולא מקביליות. אנטיפיזמים יכולים להיות מורכבים מאוד.

מהי פירמידה?

פירמידה היא פולידרון עם בסיס מצולע שמתחבר ל- שִׂיא (נקודה עליונה) עם צדדים ישרים.

למרות שאנו נוטים לחשוב על פירמידות עם בסיס מרובע, כמו אלה שבנו המצרים הקדמונים, הן יכולות להיות בעלות בסיס מצולע כלשהו, ​​רגיל או לא סדיר. יתר על כן, בפירמידה יכולה להיות קודקוד במרכז הישיר של בסיסה, א פירמידה ימנית , או יכול להיות שהקודקוד נמצא מחוץ למרכז כשזה פירמידה אלכסונית .

מוצק ארכימדי - קובייה קטומה

פולידרונים מורכבים יותר

ישנם עוד הרבה סוגים של פולידרה: סימטרית ואסימטרית, קעורה וקמורה.

מוצקים ארכימדיים, למשל, מורכבים משני מצולעים רגילים שונים לפחות.

הקוביה הקטומה (כפי שמודגם) היא מוצקה ארכימדית עם 14 פרצופים. 6 מהפנים הם מתומנים רגילים והשאר 8 הם משולשים רגילים (שווי צלעות). לצורה 36 קצוות ו 24 קודקודים (פינות).


צורות תלת מימד עם עקומות

צורות מלאות הכוללות קצה מעוגל או עגול אינן פולידרונים. לרובבים יכולים להיות רק צדדים ישרים.

רבים מהחפצים סביבך יכללו לפחות כמה קימורים. בגיאומטריה המוצקים המעוקלים הנפוצים ביותר הם צילינדרים, קונוסים, כדורים וטורי (הרבים לטורוס).

צורות תלת מימד נפוצות עם עקומות:
צִילִינדֶר קוֹנוּס
צִילִינדֶר קוֹנוּס
לגליל אותו חתך רוחב מקצה לקצה. צילינדרים יש שני קצוות זהים של מעגל או סגלגל. אף על פי שגלילים דומים אינם פריזמה, שכן לפריזמה יש (בהגדרתה) צדדים מקבילים, שטוחים. לקונוס בסיס מעגלי או אליפסה וקודקוד (או קודקוד). הצד של החרוט מתחדד בצורה חלקה לקודקוד. חרוט דומה לפירמידה אך מובחן כיוון שלחרוט יש צד מעוגל יחיד ובסיס מעגלי.
כַּדוּר בֶּלֶט
כַּדוּר בֶּלֶט
מעוצב כמו כדור או כדור כדור הוא אובייקט עגול לחלוטין. כל נקודה על פני כדור היא מרחק שווה למרכז הכדור. בצורת טבעת, צמיג או סופגנייה, טורוס טבעת רגיל נוצר על ידי סיבוב מעגל קטן יותר סביב עיגול גדול יותר. יש גם צורה מורכבת יותר של טורי.

שטח פנים

הדף שלנו ב חישוב שטח מסביר כיצד לחשב את שטח הצורות הדו-ממדיות ועליך להבין את היסודות הללו על מנת לחשב את שטח הפנים של צורות תלת מימד.

עבור צורות תלת מימד, אנחנו מדברים על שטח פנים , כדי למנוע בלבול.

אתה יכול להשתמש בידע שלך על שטח של צורות דו מימד כדי לחשב את שטח הפנים של צורה תלת מימדית, שכן כל פנים או צד הם למעשה צורה דו מימדית.

לכן אתה עובד על האזור של כל פנים ואז מוסיף אותם יחד.

כמו בצורות שטוחות, שטח הפנים של מוצק מתבטא ביחידות מרובעות: ס'משתיים, אינץשתיים, Mשתייםוכן הלאה. תוכלו למצוא פירוט נוסף אודות יחידות מידה בדף שלנו מערכות מדידה .

דוגמאות לחישובי שטח פנים

שטח פני קוביה

קוּבִּיָה

ה שטח פנים של קוביה הוא השטח של פנים אחת (אורך x רוחב) כפול 6, מכיוון שכל שש הפנים הן זהות.

מכיוון שפנים של קוביה הם ריבוע, צריך רק לבצע מדידה אחת - אורכו ורוחבו של ריבוע זהים, בהגדרה.

לכן פן אחד של קוביה זו הוא 10 × 10 ס'מ = 100 ס'משתיים. הכפל 6 במספר הפנים בקוביה, ואנו מגלים ששטח הפנים של קוביה זו הוא 600 ס'משתיים.

פולידרונים רגילים אחרים

באופן דומה, ניתן לעבד את שטח הפנים של המולדרונים הרגילים האחרים (מוצקים אפלטוניים) על ידי מציאת השטח של צד אחד ואז הכפלת התשובה במספר הצדדים הכולל - ראו דיאגרמת ה Polyhedrons הבסיסית לעיל.

אם השטח של מחומש אחד שמרכיב דודקהדרון הוא 22 ס'משתייםואז הכפל זאת במספר הצדדים הכולל (12) כדי לתת את התשובה 264 ס'משתיים.


פִּירָמִידָה

כדי לחשב את שטח פנים של פירמידה רגילה עם ארבעה צדדים משולשים שווים ובסיס מרובע:

ראשית חישב את שטח הבסיס (מרובע) אורך × רוחב.

לאחר מכן חישב את השטח של צד אחד (משולש). מדוד את הרוחב לאורך הבסיס ואז את גובה המשולש (המכונה גם אורך משופע) מהנקודה המרכזית על הבסיס לקודקוד.

לאחר מכן תוכל לחלק את התשובה שלך ל -2 כדי לתת לך את שטח הפנים של משולש אחד ואז להכפיל ב -4 כדי לתת את השטח של כל ארבעת הצדדים, או פשוט להכפיל את שטח הפנים של משולש אחד ב -2.

לבסוף הוסיפו את שטח הבסיס והצדדים יחד כדי למצוא את שטח הפנים הכולל של הפירמידה.

כדי לחשב את שטח פנים של סוגים אחרים של פירמידה, הוסף יחד את שטח הבסיס (המכונה שטח הבסיס) ואת שטח הצדדים (אזור רוחבי), ייתכן שיהיה עליך למדוד את הצדדים בנפרד.

מיומנויות חשיבה ביקורתית ופתרון בעיות

דיאגרמות נטו

רשת גיאומטרית היא 'תבנית' דו מימדית לאובייקט תלת מימדי. רשתות יכולות להועיל בעת עבודה על שטח הפנים של אובייקט תלת מימדי. בתרשים למטה ניתן לראות כיצד בנויות פירמידות בסיסיות, אם הפירמידה 'נפרשת' נשארת עם הרשת.

רשתות פירמידה

למידע נוסף על דיאגרמות נטו עיין בדף שלנו צורות ורשתות תלת מימד .


שטח פני פריזמה

פּרִיזמָה

כדי לחשב את שטח פנים של מנסרה :

למנסרות שני קצוות זהים לצדדים מקבילים שטוחים.

חשב את השטח של קצה אחד והכפל ב -2.

עבור מנסרה רגילה (כאשר כל הצדדים זהים) חישבו את שטח אחד הצדדים והכפלו במספר הצדדים הכולל.

עבור מנסרות לא סדירות (עם צדדים שונים) חישבו את השטח של כל צד.

הוסף את שתי התשובות שלך יחד (קצוות × צדדים) כדי למצוא את שטח הפנים הכולל של המנסרה.


צִילִינדֶר

שטח פנים של גליל

דוגמא:
רדיוס = 5 ס'מ
גובה = 10 ס'מ

כדי לחשב את שטח פנים של גליל כדאי לחשוב על החלקים המרכיבים של הצורה. דמיין לעצמך פח של גריל מתוק - יש לו חלק עליון ותחתון, שניהם עיגולים. אם חותכים את הצד לאורכו ומשטחים אותו יהיה לכם מלבן. לכן עליכם למצוא את השטח של שני עיגולים ומלבן.

תחילה חישב את אזור אחד המעגלים.

שטח המעגל הוא רדיוס π (pi) ×שתיים.

בהנחה שרדיוס של 5 ס'מ, שטח אחד העיגולים הוא 3.14 × 5שתיים= 78.5 ס'משתיים.

הכפל את התשובה ב -2, שכן ישנם שני עיגולים בגודל 157 ס'משתיים

שטח צלע הגליל הוא היקף המעגל × גובה הצילינדר.

היקף שווה לרדיוס π x 2 ×. בדוגמה שלנו, 3.14 × 2 × 5 = 31.4

מדוד את גובה הצילינדר - לדוגמא זו הגובה הוא 10 ס'מ. שטח הפנים של הצד הוא 31.4 × 10 = 314 ס'משתיים.

ניתן למצוא את שטח הפנים הכולל על ידי הוספת שטח העיגולים והצד יחד:

157 + 314 = 471 ס'משתיים


חשב את שטח הפנים של חרוט.

דוגמא:
רדיוס = 5 ס'מ
אורך הטיה = 10 ס'מ

קוֹנוּס

בעת חישוב ה- שטח פני חרוט עליכם להשתמש באורך ה'שיפוע 'כמו גם ברדיוס הבסיס.

עם זאת, פשוט יחסית לחשב:

שטח המעגל בבסיס החרוט הוא, רדיוס π (pi) ×שתיים.

בדוגמה זו הסכום הוא 3.14 × 5שתיים= 3.14 × 25 = 78.5 ס'משתיים

ניתן למצוא את אזור הצד, החלק המשופע, באמצעות נוסחה זו:

π (pi) × רדיוס × אורך השיפוע.

בדוגמה שלנו הסכום הוא 3.14 × 5 × 10 = 157 ס'משתיים.

לבסוף הוסף את שטח הבסיס לאזור הצדדי כדי לקבל את שטח הפנים הכולל של החרוט.

78.5 + 157 = 235.5 ס'משתיים


חשב את שטח הפנים של כדור.

כדור טניס:
קוטר = 2.6 אינץ '

כַּדוּר

ה שטח פנים של כדור היא הרחבה פשוטה יחסית של הנוסחה לאזור המעגל.

רדיוס 4 × π ×שתיים.

עבור כדור לעתים קרובות קל יותר למדוד את הקוטר - המרחק על פני הכדור. לאחר מכן תוכל למצוא את הרדיוס שהוא חצי מהקוטר.

קוטרו של כדור טניס סטנדרטי הוא 2.6 אינץ '. לכן הרדיוס הוא 1.3 אינץ '. לצורך הנוסחה אנו זקוקים לרדיוס בריבוע. 1.3 × 1.3 = 1.69.

לכן שטח הפנים של כדור טניס הוא:

4 × 3.14 × 1.69 = 21.2264 אינץ 'שתיים.


חשב את שטח הפנים של טורוס.

דוגמא:
R (רדיוס גדול) = 20 ס'מ
r (רדיוס קטן) = 4 ס'מ

בֶּלֶט

על מנת לחשב את שטח פנים של טורוס אתה צריך למצוא שני ערכי רדיוס.

הרדיוס הגדול או הראשי (R) נמדד מאמצע החור לאמצע הטבעת.

הרדיוס הקטן או המינורי (r) נמדד מאמצע הטבעת לקצה החיצוני.

התרשים מציג שתי תצוגות של טורוס לדוגמא וכיצד מודדים את הרדיוסים (או הרדיוסים) שלו.

החישוב לאיתור שטח הפנים הוא בשני חלקים (אחד לכל רדיוס). החישוב זהה לכל חלק.

הנוסחה היא: שטח פנים = (2πR) (2πr)

כדי לחשב את שטח הפנים של הטורוס לדוגמא.

(2 × π × R) = (2 × 3.14 × 20) = 125.6

(2 × π × r) = (2 × 3.14 × 4) = 25.12

הכפל את שתי התשובות יחד כדי למצוא את שטח הפנים הכולל של הטורוס לדוגמא.

125.6 × 25.12 = 3155.072 ס'משתיים.


מילוי מוצק: נפח

עם צורות תלת ממדיות, ייתכן שתצטרך לדעת גם כמה כרך יש להם.

במילים אחרות, אם מילאתם אותם במים או באוויר, כמה מילוי הייתם צריכים?

איך לגלות את האזור

זה מכוסה בדף שלנו חישוב נפח .

המשך ל:
חישוב שטח
צורות ורשתות תלת מימד