חישוב נפח

ראה גם: צורות תלת מימד

דף זה מסביר כיצד לחשב את נפח האובייקטים המוצקים, כלומר כמה אתה יכול להשתלב באובייקט אם, למשל, מילאת אותו בנוזל.

אֵזוֹר הוא המדד של כמה מקום יש בתוך אובייקט דו מימדי (ראה עמוד שלנו: חישוב שטח לעוד).

נפח הוא המדד של כמה מקום יש בתוך אובייקט תלת מימדי. הדף שלנו ב צורות תלת מימד מסביר את היסודות של צורות כאלה.



בעולם האמיתי, חישוב נפח הוא כנראה לא משהו שתשתמש בו בתדירות גבוהה כמו חישוב השטח.

עם זאת זה עדיין יכול להיות חשוב. היכולת לחשב נפח תאפשר לך, למשל, להבין כמה שטח אריזה יש לך בעת מעבר דירה, כמה שטח משרדים אתה צריך, או כמה ריבה תוכל להכניס לצנצנת.

זה יכול להיות שימושי גם להבנת המשמעות של אמצעי התקשורת כשהם מדברים על קיבולת של סכר או על זרימת נהר.

חישוב שטח ונפח. שטח נמדד ביחידות בריבוע, כמה ריבועים ישתלבו בחלל שטוח (דו מימדי)? נפח נמדד ביחידות קוביות, כמה קוביות ישתלבו באובייקט מוצק (תלת מימד)?

הערה על יחידות

איזה מהבאים אינו אחד מעשרת המקשים להאזנה יעילה?

השטח מתבטא ביחידות מרובעות, מכיוון שמדובר בשתי מדידות המוכפלות יחד.

הנפח מתבטא ביחידות מעוקבות, מכיוון שהוא הסכום של שלוש מדידות (אורך, רוחב ועומק) המוכפל יחד. יחידות מעוקבות כוללות ס'מ3, M3ורגל מעוקב.

אַזהָרָה!

נפח יכול לבוא לידי ביטוי גם כקיבולת נוזלית.

השיטה המטרית

במערכת המטרית קיבולת נוזלים נמדדת בליטר, אשר ניתנת להשוואה ישירה למדידה מעוקבת, שכן 1 מ'ל = 1 ס'מ3. 1 ליטר = 1,000 מ'ל = 1,000 ס'מ3.

מערכת אימפריאלית / אנגלית

במערכת האימפריאלית / האנגלית המדידות המקבילות הן אונקיות נוזליות, ליטרים, ליטרים וגלונים, שלא מתורגמים בקלות לרגל מעוקבת. לכן עדיף להיצמד ליחידות נפח נוזלי או מוצק.

למידע נוסף, עיין בדף שלנו ב מערכות מדידה


נוסחאות בסיסיות לחישוב נפח

נפח מוצקים מבוססי מלבן

שטח = רוחב x אורך. נפח = רוחב x אורך x גובה.

ואילו הנוסחה הבסיסית לשטח של צורה מלבנית היא אורך × רוחב, הנוסחה הבסיסית לנפח היא אורך × רוֹחַב × גוֹבַה.

האופן שבו אתה מתייחס לממדים השונים אינו משנה את החישוב: אתה יכול, למשל, להשתמש ב'עומק 'במקום ב'גובה'. הדבר החשוב הוא ששלושת הממדים מוכפלים יחד. אתה יכול להכפיל באיזה סדר שאתה רוצה שכן זה לא ישנה את התשובה (עיין בדף שלנו ב כֶּפֶל לעוד).

קופסה במידות 15 ס'מ רוחב, אורך 25 ס'מ וגובה 5 ס'מ בנפח:
15 × 25 × 5 = 1875 ס'מ3

נפח מנסרות וצילינדרים

ניתן להרחיב את הנוסחה הבסיסית הזו כדי לכסות את נפח צילינדרים ו מנסרות גַם. במקום קצה מלבני, פשוט יש לך צורה אחרת: מעגל לגלילים, משולש, משושה או, אכן, כל מצולע אחר לפריזמה.

למעשה, עבור צילינדרים ומנסרות, הנפח הוא שטח הצד האחד מוכפל בעומק או בגובה הצורה.

הנוסחה הבסיסית לנפח מנסרות וצילינדרים היא אפוא:

שטח צורת הקצה × גובה / עומק פריזמה / גליל.


נפח קונוסים ופירמידות

אותו עיקרון כמו לעיל (רוחב × אורך × גובה) מתקיים לחישוב נפח החרוט או הפירמידה, אלא מכיוון שהם מגיעים לנקודה, הנפח הוא רק חלק מהסך הכולל אם הם המשיכו ב אותה צורה ממש דרך.

נפח החרוט או הפירמידה הוא בדיוק שליש ממה שיהיה עבור קופסה או גליל עם אותו בסיס.

הנוסחה היא אפוא:

שטח הבסיס או צורת הקצה × גובה החרוט / הפירמידה ×1/3

עיין בחזרה לדף שלנו חישוב שטח אם אינך זוכר כיצד לחשב את שטח המעגל או המשולש.

לדוגמא, כדי לחשב את נפח החרוט ברדיוס של 5 ס'מ וגובה 10 ס'מ:

השטח בתוך מעגל = πr2 (כאשר π (pi) הוא כ 3.14 ו- r הוא רדיוס המעגל).

בדוגמה זו, שטח הבסיס (מעגל) = πrשתיים= 3.14 × 5 × 5 = 78.5 ס'משתיים.

78.5 × 10 = 785

785 × 1/3 = 261.6667 ס'מ3

חשב את נפח הכדור. 4/3 x pi x רדיוס קוביות.

נפח של כדור

כמו במעגל, אתה צריך π (pi) כדי לחשב את נפח הכדור.

הנוסחה היא 4/3 × π × רדיוס3.

ייתכן שאתה תוהה כיצד תוכל לעבוד על רדיוס הכדור. קצרה לנעוץ דרכה מחט סריגה (יעילה, אך סופית לכדור!), יש דרך פשוטה יותר.

ניתן למדוד את המרחק סביב הנקודה הרחבה ביותר של הכדור ישירות, למשל בעזרת סרט מדידה. מעגל זה הוא ההיקף ובעל אותו רדיוס כמו הכדור עצמו.

היקף המעגל מחושב כ 2 x π x רדיוס.

כדי לחשב את הרדיוס מההיקף אתה:

חלק את ההיקף ב (2 x π) .


דוגמאות עבודות: חישוב נפח


דוגמה 1

צילינדר באורך 20 ס
חשב את נפח הגליל שאורכו 20 ס'מ, וקצהו המעגלי רדיוס 2.5 ס'מ.

ראשית, חישבו את השטח של אחד הקצוות העגולים של הגליל.

שטח המעגל הוא πrשתיים(פאי × רַדִיוּס × רַדִיוּס). π (pi) הוא בערך 3.14.

שטח הקצה הוא אפוא:

3.14 x 2.5 x 2.5 = 19.63 ס'משתיים

ה כרך הוא שטח הקצה כפול האורך, ולכן הוא:

19.63 ס'משתייםx 20 ס'מ = 392.70 ס'מ3




כדור ברדיוס של 2 ס

דוגמה 2

מה גדול יותר בנפח, כדור ברדיוס 2 ס'מ או פירמידה עם בסיס 2.5 ס'מ מרובע וגובה 10 ס'מ?

ראשית, חישבו את נפח הכדור .

נפח הכדור הוא 4/3 × π × רדיוס3.

לכן נפח הכדור הוא:

4 ÷ 3 x 3.14 × 2 × 2 × 2 = 33.51 ס'מ3

ואז חישב את נפח הפירמידה .

נפח הפירמידה הוא 1/3 × שטח הבסיס × הגובה.

שטח בסיס = אורך × רוחב = 2.5 ס'מ × 2.5 ס'מ = 6.25 ס'משתיים

לכן הנפח הוא 1/3 x 6.25 × 10 = 20.83 ס'מ3

לכן הכדור גדול יותר בנפח מהפירמידה.



חישוב נפח המוצקים הלא סדירים

בדיוק כמו שאתה יכול לחשב את השטח של צורות דו-ממדיות לא סדירות על ידי פירוקן לצורות רגילות, אתה יכול לעשות את אותו הדבר כדי לחשב את נפח המוצקים הלא סדירים. פשוט חלק את המוצק לחלקים קטנים יותר עד שתגיע רק למוצקים שאיתם תוכל לעבוד בקלות.


דוגמא עובדת

חשב את הנפח של גליל מים בגובה כולל 1 מ ', קוטר 40 ס'מ, וחלקו העליון הוא חצי כדור.
מוצק לא סדיר. בסיס מעגלי בקוטר 40 ס

תחילה מחלקים את הצורה לשני חלקים, גליל וחצי כדור (חצי כדור).

נפח הכדור הוא 4/3 × π × רדיוס3. בדוגמה זו הרדיוס הוא 20 ס'מ (חצי הקוטר). מכיוון שהחלק העליון הוא כדורית למחצה, נפחו יהיה חצי מזה של כדור מלא. לכן נפח קטע זה של הצורה:

0.5 × 4/3 × π × 203 = 16,755.16 ס'מ3

נפח הגליל הוא שטח הבסיס × גובהו. כאן, גובה הגליל הוא הגובה הכולל פחות רדיוס הכדור, שהוא 1 מ '- 20 ס'מ = 80 ס'מ. שטח הבסיס הוא πrשתיים.

לכן נפח החלק הגלילי של צורה זו הוא:

80 × π × 20 × 20 = 100,530.96 ס'מ3

הנפח הכולל של מיכל מים זה הוא אפוא:
100,530.96 + 16,755.16 = 117,286.12 ס'מ3.

זה מספר די גדול, אז אולי תעדיפו להמיר אותו ל -117.19 ליטר על ידי חלוקה ב -1,000 (מכיוון שיש 1000 ס'מ3בליטר). עם זאת, זה די נכון לבטא את זה כסנטימטר3מכיוון שהבעיה אינה מבקשת שהתשובה תבוא לידי ביטוי בצורה מסוימת כלשהי.



לסיכום…

באמצעות עקרונות אלה, אם יש צורך בכך, כעת תוכל לחשב את נפח כמעט כל דבר בחייך, בין אם זה ארגז אריזה, חדר או גליל מים.

המשך ל:
צורות תלת מימד
שטח, שטח פנים וגליון הפניה לנפח